2009年海天考研数学春季强化班高数讲义
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第一章 函数 极限 连续
一．函数
1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域）
2． 函数的性态
1）单调性
定义：单调增：
单调不减：
判定：（1）定义：
(2）导数：设 在区间 上可导，则
a) 单调不减；
b) 单调增；
2)奇偶性
定义：偶函数 奇函数
判定：(1）定义：
(2）设 可导，则：
a) 是奇函数 是偶函数；
b) 是偶函数 是奇函数；
(3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；
连续的偶函数其原函数之一是奇函数。
3)周期性
定义：
判定：(1)定义；
(2）可导的周期函数其导函数为周期函数；
(3）周期函数的原函数不一定是周期函数；
4)有界性
定义：若 则称 在 上有界。
判定：（1）定义：
（2） 在 上连续 在 上有界；
（3） 在 上连续，且 存在 在 上有界；
（4） 在区间 （有限）上有界 在 上有界；
3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)
4．基本的初等函数与初等函数
基本初等函数:
常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形.
初等函数:
由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个
解析式表示的函数.
题型一 复合函数
例1设 的定义域为 ，则 的定义域为
(a) (b)
(c) (d)
例2已知 且 求 及其定义域。
例3设 ,
试求 .
( )
题型二 函数性态
例1 函数 在下列哪个区间内有界。
(a) (b) (0,1)
(c) (d) (2,3)
例2 以下四个命题中正确的是
（a）若 在 内连续，则 在 内有界；
（b）若 在 内连续，则 在 内有界；
（c）若 在 内有界，则 在 内有界；
（d）若 在 内有界，则 在 内有界。
例3 设 是恒大于零的可导函数，且
时，有
（a） （b）
（c） （d）
例4 设函数 则存在 ，使得
（a） 内单调增加； （b） 内单调减少；
（c）对任意的 ；
（d）对任意的 。
注：1) 在 的某邻域内 单调增；
2） 当 时， ；
当 时， 。
二．极限
1．极限概念
1）数列极限: ： ,当 时 .
2）函数极限:
（1）自变量趋于无穷大时函数的极限
： ,当 时 .
和 的定义与 类似。
（2）自变量趋于有限值时函数的极限
： ,当 时 。
右极限： .
左极限： .
几个值得注意的极限： ，
2。极限性质
1）有界性： 收敛数列必有界；
