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汪宏喜09年考研数学辅导讲义（概率论与数理统计）
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汪宏喜09年考研数学辅导讲义（概率论与数理统计）
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2009 年考研数学内部讲义
概率论与数理统计
编讲 汪宏喜
安徽农业大学
2008 年5 月
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第三部分 概率论与数理统计
第一章 随机事件和概率
考试内容
随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质
古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验
考试要求
1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运
算．
2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，
掌握计算概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(bayes)公式等．
3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概
念，掌握计算有关事件概率的方法．
? 考试内容解析 ?
一、随机事件与样本空间
1．随机试验e：
??
??
?
) ( ) 3 (
) ( ) 2 (
) ( , ) 1 (
随机性知每次试验的结果事先未
多样性先已知试验所有的可能结果事
统计性可重复进行试验在相同的条件下
２．样本空间：随机试验e 的所有可能结果组成的集合称为e 的样本空间．记为ω={ω}．ω
中的元素ω称为样本点，也即e 的基本事件．
３．随机事件：试验e 的结果称为e 的随机事件．记为a、b、c 等．
(1)基本事件：e 的事件中不能再分解成其它事件的最简单的事件称基本事件;
(2)必然事件与不可能事件：每次试验e 中必然发生的事件为必然事件，记为ω; 每次试验
e 中一定不发生的事件称不可能事件，记为?．
4．事件间的关系和运算
事件的关系有：包含、相等、不相容、对立；事件间的运算有：并(和)、差、交等．
(1)包含：如果事件a 发生必然导致b 发生,则称事件b 包含事件a,记作a?b 或b?a．
(2)相等：如果a?b 且b?a,则称事件a 与b 相等．记作a=b．
(3)不相容：如果事件a 与事件b 不可能同时发生, 即? = b ai ，则称事件a 与事件b
是互不相容(或互斥)．
(4)对立：如果事件a 与事件b 满足： ω = ? = b a b a u i ② ; ① ．即事件a 与事件
b 必发生其一，但不能同时发生．则称事件a 与事件b 是互逆事件，或者说a 与b 为对立事
件，记为b a = (或a b = )．
注：两个互相对立的事件a 与a 一定为不相容事件,但是两个不相容事件未必是对立事件．
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(5)并(和)：如果事件a 与事件b 至少有一个发生,则称这样的事件为事件a 与事件b 的并
(或和), 记作a∪b 或a b．
(6)差：如果事件a 发生而事件b 不发生,则称这样的事件为事件a 与事件b 的差, 记作a-b
或a\b．
(7)交：如果事件a 与事件b 同时发生,则称这样的事件为事件a 与事件b 的交,记作a∩b
或ab．
(8)完全事件组：如果事件a1，a2，…，an，…两两互不相容，且每次试验中必出现一个
且只出现一个,则称a1，a2，…，an，…构成完备事件组．完全事件组可以是有限的,也可以是
无限的．完全事件组也称为样本空间ω的一个划分．
4．事件运算的性质
对于任意事件a，b，c， a1，a2，…，an，…，有
(1)交换律：a b=b a；ab=ba．
(2)结合律：a b c= (a b) c=a (b c)；abc=(ab)c=a(bc)．
(3)分配律：a(b c)=ab ac；a(b-c)=ab-ac； i
i
i
i
aa a a u u = ) ( ．
(4)对偶律： i
i
i
i
i
i
i
i
a a a a ， b a ab ， b a b a u i i u = = = = , ．
5．事件与集合
由于事件是样本空间的子集，因此事件的关系与运算可以用集合的文氏图形象地表示出
来，如图1．1
二、事件的概率
概率是事件出现可能性大小的度量,用p(a)表示事件a 的概率．如用{…}表示事件,其中大
括号内用文字或式子描述事件的内容,则以p{…}表示其概率．
1．概率的概念
在一个随机试验中,对于每一个事件a,都有唯一的实数p(a)和它对应,且p(a)是满足下列
条件的事件a 的函数：
(1)非负性：p(a)≥0；
(2)规范性：对于必然事件，有p(ω)=1；
(3)可列可加性：对于两两互不相容的事件a1，a2，…,an，…,有∑ =
i
i i
i
a p a p ) ( ) (u ．
a
? = b a i
图1.1
b
?
a
a
?
a
b
b a ?
?
?
b a ?
b
a
?
b a u
?
b a i
a
b
a
b
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2．概率的基本性质
(1)p(?)=0;
(2)有限可加性：设事件a1，a2，…,an 两两互不相容,则∑
= =
=
n
i
i i
n
i
a p a p
1 1
) ( ) (u ;
(3)对于两个事件a 与b,如果b a ? ,则p(a-b)=p(a)-p(b)．
特别地,由于p(ω)=1,故而有( ) 1 ( ) p a a = ? ．
3．古典型概率
