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第一讲 极限与连续
一概念定理公式
eg1.1 设( ), ( ) f x g x 均连续且
0 0
lim ( ) lim ( ) 1
x x
f x g x
→ →
= = 令
2
0 0
( ) ( ) , ( ) ( ) x x f x f x dx g x t g x t dt = = ? ? ∫ ∫ 则当0 x→ 时( ) ( ) f x g x 与是[ ]
[a]f(x)比g(x)高阶的无穷小 [b]g(x)比f(x)高阶的无穷小
[c]f(x)比g(x)是等价无穷小 [d]f(x)比g(x)同阶且非等价无穷小
例1.2 当1 0, ( ) 2 sin sin 2
2
x fx x x x → = ? ? 是x 的几阶无穷小
例1.3 当0 x > 时2 1 2 1 x ax bx ? ～ 确定a b 的值
例1.4 求2
ln ) ( )
2 3
x f x
x x
? =
? ?
的间断点并判断其类型
例1.5 设3 2 0 0
sin 6 ( ) 6 ( ) lim lim ?
x x
x xf x f x c
x x → →
= = 求
例1.6 求
1
0
lim 3 n
n
x x dx
→∞
∫
例1.7 求2 2 2
1 2 lim( )
1 1 1 n
n
n n n n n n →∞
???
例1.8 求
2
lim 1 ( )
2
n n n
n
x x
→∞
例1.9 求2 limsin 1
n
n π
→∞
1 的极限的求法
例1.10 求2
( ) ( ) lim
( )
x a x b
x a b x
x a x b
x a b
→∞
例1.11 1 求
1
1
sin
0
(1 ) lim[ ]
x
x
x
x
e →
1∞ 型
2 求
100
10 2
ln(100 2 3) lim
ln( 3 2) x
x x
x x →∞
∞
∞
型
例1.12 设( ) f x 为多项式
3
2
( ) 5 ( ) lim 4lim 3
x x
f x x f x
x x →∞ →∞
? = =
二各类极限的求法
极限式中参数的确定
例1.13 3 3 lim( 1 ) 0
x
x xλ μ
→∞
= 求λ
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例1.14 设3 0
sin lim , ( 0)
ln(1 ) x b
x
ax x c c
f t dt
t
→
= ≠
∫
确定a b c
例1.15 设
2 1
2 lim ( ) , a b
1
n
n n
x ax b f x c
x
?
→∞
=
出处处类型联系连续确定与的值[x 为参数]]
未定式定值法法
0
0
型
例1.16 计算下列极限
3 0 0
arcsin 1 cos (1) lim (2) lim
ln(1 ) (-cos )
(3) ( ) 1 (1) 0, ’(1) 6
x x
fx x x
x x x
f x x f f
→ →
? ?
= = = 设在项的邻域内具有一阶连续导数
求1 1
3 1
( () )
lim
( 1)
x t
x
t f udu dt
x → ?
∫ ∫
2
1
100 0
(4) lim
x
x
e
x
?
→
例1.17 设, , a b
